Зміст
Введення. 3
§ 1. Оригінали та зображення функцій по Лапласа. 5
§ 2. Основні теореми операційного числення. 8
2.1 Згортка оригіналів. 8
2.1 Властивість лінійності. 9
2.2 Теорема подібності. 9
2.3 Теорема запізнювання. 10
2.4 Теорема зсуву. 10
2.5 Теорема попередження. 11
2.6 Множення оригіналів. 11
2.7 Диференціювання оригіналу. 11
2.8 Диференціювання зображення. 12
2.9 Інтегрування оригіналу. 12
2.10 Інтегрування зображення. 13
§ 3. Зображення найпростіших функцій. 13
§ 4. Відшукування оригіналу по зображенню .. 15
4.1 Розкладання на найпростіші дроби. 15
4.2. Перша теорема розкладу. 16
§ 5 Рішення задачі Коші для звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. 18
Додаток. 24

Введення

Операційне числення в даний час стало однією з найважливіших розділів практичного математичного аналізу. Операційний метод безпосередньо використовується при вирішенні звичайних диференціальних рівнянь і систем таких рівнянь; його можна використовувати і при вирішенні диференціальних рівнянь в приватних похідних.
Засновниками символічного (операційного) обчислення вважають російських вчених М. Є. Ващенко - Захарченко та А. В. Летникова.
Операційне числення звернуло на себе увагу після того, як англійський інженер-електрик Хевісайд, використовуючи символічне числення, отримав ряд важливих результатів. Але недовіра до символічного обчисленню зберігалося до тих пір, поки Джорджі, Бромвіч, Карсон, А. М. Ефрос, А. І. Лур, В. А. Діткін і інші не встановили зв'язку операційного числення з інтегральними перетвореннями.
Ідея рішення диференціального рівняння операційним методом полягає в тому, що від диференціального рівняння щодо шуканої функції-оригіналу f (t) переходять до рівняння щодо іншої функції F (p), званої зображенням f (t). Отримане (операційне) рівняння звичайно вже алгебраїчне (значить більш просте в порівнянні з вихідним). Вирішуючи його щодо зображення F (p) і переходячи потім до відповідного оригіналу, знаходять шуканий розв'язок даного диференціального рівняння.
Операційний метод рішення диференціальних рівнянь можна порівняти з обчисленням різних виразів за допомогою логарифмів, коли, наприклад, при множенні обчислення ведуться не над самими числами, а над їх логарифмами, що призводить до заміни множення більш простою операцією - складанням.
Так само як і при логарифмування, при використанні операційного методу потрібні:
1) таблиця оригіналів та відповідних їм зображень;
2) знання правил виконання операцій над зображенням, відповідних дій, виробленим над оригіналом.

§ 1. Оригінали та зображення функцій по Лапласа

Визначення 1. Будемо дійсну функцію дійсного аргументу f (t) називати оригіналом, якщо вона задовольняє трьом вимогам:
1) f (t)   0, при t   0
2) f (t) зростає не швидше деякої показовою функції , При t   0, де M   0, s ₀   0 - деякі дійсні постійні, s ₀ називають показником зростання функції f (t).
3) На будь-якому кінцевому відрізку  a, b   позитивної півосі Ot функція f (t) задовольняє умовам Діріхле, тобто
a) обмежена,
b) або неперервна, або має лише кінцеве число точок розриву I роду,
c) має кінцеве число екстремумів.
Функції, що задовольняють цим трьом вимогам, називаються в операційному численні зображуваними по Лапласа або оригіналами.
Найпростішим оригіналом є одинична функція Хевісайда

Якщо функція задовольняє умові 2 і не задовольняє 1, то твір задовольнятиме і умові 1, тобто буде оригіналом. Для спрощення запису будемо, як правило, множник H   (T) опускати, вважаючи, що всі розглянуті функції дорівнюють нулю при негативних значеннях t.
Інтегралом Лапласа для оригіналу f (t) називається невласний інтеграл виду
,
де - Комплексний параметр.
Теорема.
Інтеграл Лапласа абсолютно сходиться у півплощині (Тобто зображення F (p) завідомо визначено при ), Де s ₀ - показник зростання f   (T).
Δ При отримуємо:
, Але по властивості модулів .
Зауважимо, що за визначенням оригіналу
.
Обчислимо цей інтеграл:

Тобто отримуємо що F (p) існує при
▲
Зауваження. З доведення теореми слід оцінка:

при
Визначення 2. Зображенням по Лапласа функції f (t) називається функція комплексного змінного p = s + i σ, обумовлена ​​співвідношенням
(1)
Той факт, що функція F (t) є зображенням оригіналу f (t), символічно це записується так:
або (2)

§ 2. Основні теореми операційного числення

2.1 Згортка оригіналів.

Згорткою оригіналів і називається функція
.
Функції f (t) і g (t) називаються компонентами згортки.
Знайдемо для прикладу згортку довільного оригіналу і одиничної функції Маємо .
Так як при то
. (2.1.1)
Теорема 1. Якщо і , То
.
Δ
Дійсно, за визначенням інтеграла Лапласа маємо

Скористаємося визначенням згортки:


Змінивши порядок інтегрування в подвійному інтегралі, отримаємо
.
Введемо замість t нову змінну . Тоді

що й потрібно було довести. ▲

Властивість лінійності.

Для будь-яких комплексних постійних   і :

Δ
Це властивість випливає з властивості лінійності інтеграла.

Домножимо рівність на α:
Так як , То , Тобто

2.2 Теорема подібності.

Для будь-якого постійного a > 0:

Множення аргументу оригіналу на позитивне число  призводить до поділу зображення і його аргументу на це число .
Покладемо α t = u. Тоді .
Таким чином, при t = 0 одержуємо u = 0, при отримуємо і

2.3 Теорема запізнювання.

для t> τ> 0
Таким чином, запізнювання аргументу оригіналу на позитивну величину   призводить до множення зображення оригіналу без запізнення F (p) на e ^{ pt.}

2.4 Теорема зсуву.

Для a> 0 має місце співвідношення:

Δ
З визначення зображення маємо:

2.5 Теорема попередження.

При а> 0 має місце співвідношення:

2.6 Множення оригіналів

2.7 Диференціювання оригіналу

Якщо і - Оригінали та , То
(2.7.1)
У самому справі, виходячи з формули Ньютона - Лейбніца, в силу (2.1.1) будемо мати
.
Тоді по теоремі 1
.
Звідси , Що й потрібно було довести.
Застосувавши формулу (2.7.1) двічі, отримаємо

і т.д. Зокрема, якщо , То , Тобто в цьому випадку диференціювання оригіналу зводиться до множення його зображення на p.

2.8 Диференціювання зображення

Якщо , То , Тобто множенню оригіналу на (- t) відповідає похідна від зображення F (p).
Узагальнення:
Шляхом послідовного диференціювання за параметром p рівності отримаємо:

2.9 Інтегрування оригіналу

Якщо , То , Тобто інтегруванню оригіналу в межах від 0 до t відповідає розподіл зображення на р..
Якщо f (t) належить безлічі оригіналів, то й буде належати безлічі оригіналів.
Нехай і . З видно, що
1)
2) .
Застосуємо властивість диференціювання оригіналу до , І в силу останніх двох рівностей отримаємо
,
А звідси .
Але, за умовою теореми, . Отже, або .
А звідси і з співвідношень і випливає, що .

2.10 Інтегрування зображення

Якщо і належить безлічі оригіналів, то .

§ 3. Зображення найпростіших функцій

Одинична функція Хевісайда.
Маємо:

Так як при , То .
Для функції Хевісайда з запізнілих аргументом по теоремі запізнювання отримаємо
.
Експонента. По теоремі зміщення
.
Гіперболічні і тригонометричні функції.
У силу лінійності перетворення Лапласа маємо
;
;
;

Степенева функція з натуральним показником.
Покладемо , Де . Тоді при
.
При , Тому

Звідси
.
Так як , То

Отримані за допомогою формули (1) зображення деяких функцій зведені в таблицю (див. додаток). Її можна використовувати для знаходження зображень функцій.

§ 4. Відшукування оригіналу по зображенню

Для знаходження оригіналу f (t) за відомим зображенню F (p) потрібно використовувати формули звернення Рімана-Мелліна
.
Якщо функція f (t) є оригіналом, тобто задовольняє умовам 1-3 визначення 1 і F (p) служить її зображенням, то в будь-якій точці своєї безперервності функція f (t) дорівнює:

Формула звернення Рімана-Мелліна дає вираз оригіналу f (t) через зображення F (p), причому α - довільне число, яке задовольняє нерівності α> s _0.
Обчислення оригіналу за формулою Рімана-Мелліна досить трудомістким, тому на практиці при вирішенні завдань застосовують інші методи, які розглядаються нижче.

4.1 Розкладання на найпростіші дроби.

Якщо  є дробово-раціональна функція, причому ступінь чисельника A (p) менше ступеня знаменника B (p), то цей дріб розкладають на суму простих дробів і знаходять оригінали для кожної простого дробу або безпосередньо за формулою (1), або по таблиці (см . додаток).
Приклад 1. Знайти оригінал по зображенню.

Розкладемо функцію на суму дробів:

Знайдемо методом невизначених коеффіціентов А, В, С:

Тоді

Скористаємося додатком:

У результаті оригінал дорівнює

4.2. Перша теорема розкладу

Теорема. Якщо зображення шуканої функції може бути розкладено в степеневий ряд по ступенях , Тобто

(Причому цей ряд сходиться до F (p) при ), То оригінал має вигляд

(Причому ряд сходиться при всіх значеннях t).

§ 5 Рішення задачі Коші для звичайних лінійних

диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння

де a _{k-дійсні} числа.
Потрібно знайти рішення даного диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам
x (0) = x _0, x `(0) = x` _0, ..., x ^{(n -1)} (0) = x ₀ ^{(n -1)}
де x _0, x _`0, ..., x ₀ ^{(n -1)} - задані числа.
Будемо припускати, що шукана функція x (t), всі її похідні, а також функція f (t) є оригіналами.
Нехай . За формулами диференціювання оригіналів

Перейдемо від даного диференціального рівняння до рівняння в зображеннях

Перепишемо його так , Де , А
Знаходимо так зване операторний рішення рівняння

Знайшовши оригінал x (t) за його зображенню X (p), ми отримаємо тим самим рішення задачі Коші для вихідного диференціального рівняння.
7. Приклади
Приклад 1.
Знайти рішення диференціального рівняння x   (t)  4 x  (t)  5 x (t)  0,
задовольняє умовам x (0)   0, x  (0)   1.
Рішення. Запишемо рівняння у зображеннях




Винесемо Х за дужки


Знайдемо оригінал використовуючи виведені раніше значення в таблиці програми:

шукане рішення -
Приклад 2.
Вирішити диференціальне рівняння y `-2 y = 0, y (0) = 1.
Рішення

Приклад 3.
Вирішити диференціальне рівняння y '+ y = e ^t, y (0) = 0.
Рішення

Перейдемо до рівняння

Приклад 4.
Знайти рішення рівняння при початкових умовах y (0) =- 1, y `(0) = 0.
Рішення
Нехай , Тоді , .
Тоді
- Зображає рівняння. Звідси

Оригінал для правого доданка відомий , А оригінал для зручніше знайти за теоремою згортання.
Відомо, що , Тому

Так як , То

Таким чином,

Приклад 5.
Знайти загальний розв'язок рівняння .
Рішення
Для отримання загального рішення початкові умови задамо так:
y (0) = C _1, y `(0) = C ₂
Якщо , То ,
.
І зображення рівняння має вигляд

Звідси

Згідно з додатком
,

Збираючи оригінали всіх доданків, що представляють Y (p), отримуємо дані рішення:

якщо .

Приклад 6

Операційний метод може бути застосований для розв'язування нестаціонарних задач математичної фізики. Розглянемо випадок, коли якась функція u (x, t) залежить лише від просторової координати x і часу t.
Для рівняння теплопровідності будемо вирішувати   крайову задачу:

a ² = const, u (x, 0) = φ (x) - початкові умови і u (0, t) = ψ ₁ (t), u (l, t) = ψ ₂ (t), 0 ≤ x ≤ l - крайові умови.
Нехай всі функції є оригінальними. Позначимо
- Зображення по Лапласа.

Тоді



Тоді крайові умови:

Рівняння в зображеннях:

Бібліографічний список.

1. Старков В.М. Операційне числення та його застосування. Навч. пособ.-СПб, 2000.
2. Белослюдова В.В., Дронсейка І.П. Спеціальні розділи математікі.Часть 1. Елементи теорії функцій комплексної змінної. Операційне числення: Курс лекцій для студентів другого курсу спеціальностей 050702, 050716 / ВКГТУ. - Усть - Каменогорськ, 2006.
3. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Вища математика у вправах і завданнях. Частина 2. М ., 2005
4. Єршова В.В. Імпульсні функції. Функції комплексної змінної. Операційне числення. Під ред. В.І. Азаматовим. Мінськ, 1976

Додаток

Таблиця оригіналів та їх зображень.

Оригінал	Зображення	Оригінал	Зображення
1
t